Планиметрия: повторение для ЕГЭ

Коротко о теме

Планиметрия: повторение для ЕГЭ

Формулы

• Теорема Пифагора

  $$a^2+b^2=c^2$$

  a и b — катеты, c — гипотенуза прямоугольного треугольника

• Площадь треугольника

  $$S=\frac{ah_a}{2}=\frac{ab\sin\gamma}{2}$$

  hₐ — высота к стороне a; γ — угол между сторонами a и b

• Площади четырёхугольников

  $$S_{\text{пар}}=ah,\quad S_{\text{трап}}=\frac{a+b}{2}h,\quad S_{\text{ромб}}=\frac{d_1d_2}{2}$$

  h — высота к основанию; у трапеции a,b — основания; d₁,d₂ — диагонали ромба

• Окружность и круг

  $$D=2R,\quad L=2\pi R,\quad S=\pi R^2$$

  R — радиус, D — диаметр, L — длина окружности, S — площадь круга

• Теорема косинусов

  $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$$

  γ — угол между сторонами a,b; c — противоположная сторона

• Теорема синусов и площадь

  $$\frac a{\sin\alpha}=\frac b{\sin\beta}=\frac c{\sin\gamma}=2R,\quad S=pr$$

  α,β,γ противолежат a,b,c; R — радиус описанной окружности; r — вписанной; p=(a+b+c)/2

Определения и правила

• Сумма углов треугольника равна 180°. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; в равностороннем все углы равны 60°.
• В прямоугольном треугольнике гипотенуза лежит против прямого угла. Для острого угла синус — отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус — прилежащего, тангенс — противолежащего катета к прилежащему.
• Параллелограмм имеет попарно параллельные противоположные стороны. Его противоположные стороны и углы равны, диагонали делятся точкой пересечения пополам. Прямоугольник имеет четыре прямых угла; ромб — четыре равные стороны.
• В этой теме трапеция — четырёхугольник с одной парой параллельных сторон (оснований). Средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме. Высота — расстояние между прямыми оснований.
• Радиус к точке касания перпендикулярен касательной. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается (дуга не содержит вершину угла). Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой.
• Высота треугольника или параллелограмма — перпендикуляр к прямой, содержащей выбранное основание. Точка его основания может лежать на продолжении стороны. Подобные фигуры имеют отношения соответствующих длин k, площадей k².

По шагам

1. Выпишите данные и искомую величину, обозначьте их на схеме.
2. Определите вид фигуры и следствия из условия: равные стороны, параллельность, прямые углы.
3. Выберите формулу с нужными условиями: Пифагор — для прямоугольного треугольника, площадь — с соответствующей высотой.
4. Найдите неизвестное и проверьте единицы, знак и разумность результата.

Другие темы: геометрия

• Векторы в пространстве 10 класс
• Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей 10 класс
• Параллельность плоскостей 10 класс
• Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
• Параллельные и скрещивающиеся прямые в пространстве 10 класс
• Перпендикуляр и наклонные. Теорема о трёх перпендикулярах 10 класс
• Перпендикулярность прямой и плоскости 10 класс
• Пирамида. Правильная пирамида 10 класс
• Построение сечений многогранников 10 класс
• Правильные многогранники 10 класс
• Предмет стереометрии. Аксиомы стереометрии 10 класс
• Призма 10 класс
• Тетраэдр и параллелепипед 10 класс
• Угол между прямой и плоскостью 10 класс
• Комбинации тел: вписанные и описанные фигуры 11 класс
• Конус. Усечённый конус 11 класс
• Метод координат в пространстве 11 класс
• Объём пирамиды и конуса 11 класс
• Объём прямоугольного параллелепипеда и призмы 11 класс
• Объём шара и площадь сферы 11 класс
• Площади поверхностей тел 11 класс
• Подобие тел. Отношение площадей и объёмов 11 класс
• Скалярное произведение векторов. Угол между векторами 11 класс
• Сфера и шар 11 класс
• Уравнение плоскости и прямой в пространстве 11 класс
• Цилиндр 11 класс